蕭簫 發(fā)自 凹非寺量子位 | 公眾號 QbitAI

陶哲軒又發(fā)新論文了！

這也是時隔一年，他再次獨(dú)立發(fā)表新論文。（arXiv顯示上一篇獨(dú)作論文發(fā)表時間是在去年2月）

這篇新論文依舊與陶哲軒鉆研的數(shù)論領(lǐng)域有關(guān)。

(資料圖)

它證明了著名數(shù)學(xué)家埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）提出的一個交錯素?cái)?shù)級數(shù)猜想，在哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想成立的條件下，是成立的。

（當(dāng)然，哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想也是一個懸而未解的猜想，因此這項(xiàng)研究只是部分證明，并沒有完全解決）

這項(xiàng)研究，還用到了他在幾年前與合作者共同提出的一個素?cái)?shù)隨機(jī)模型。

一起來看看。

證明了什么樣的猜想？

核心來說，這篇新論文要證明的，是埃爾德什提出的一個關(guān)于交錯素?cái)?shù)級數(shù)收斂性的猜想。

這個猜想與一個長這樣的交錯級數(shù)有關(guān)，其中pn是第n個素?cái)?shù)：

交錯級數(shù)，指的是項(xiàng)的符號是正負(fù)交替、而數(shù)值絕對值單調(diào)遞減的無限級數(shù)。它的一般形式，大伙兒在學(xué)高數(shù)時應(yīng)該都見過：

但交錯級數(shù)并不一定收斂，因此需要具體級數(shù)具體判斷，這次陶哲軒證明的就是交錯級數(shù)中的一個特殊類型，即an是素?cái)?shù)pn的倒數(shù)，這個級數(shù)是收斂的。

不過，還有個前提條件——在哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想成立的條件下。

哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想，由英國科學(xué)家哈代和李特爾伍德提出，它預(yù)測了給定差值集合的k個素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率。

猜想認(rèn)為，存在兩個絕對常數(shù)ε>0和C>0，對于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整數(shù)h1,…,hk組成的k元組：

使得這個式子成立：

不過，這個猜想至今尚未解決。

這次陶哲軒直接在假設(shè)它成立的基礎(chǔ)上，證明了交錯素?cái)?shù)級數(shù)收斂性猜想的成立。整個過程大約可以分為四步：

首先，基于Van der Corput差分定理來降低素?cái)?shù)計(jì)數(shù)間隔的長度。

由于證明這個猜想，實(shí)際上需要估計(jì)區(qū)間[1,x]內(nèi)素?cái)?shù)個數(shù)的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能將它轉(zhuǎn)化為僅考慮較短區(qū)間內(nèi)素?cái)?shù)個數(shù)奇偶性的問題。

轉(zhuǎn)化為這個問題之后，實(shí)際上就能用哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想來證明問題成立。

因此，接下來論文在假設(shè)哈代-李特爾伍德素?cái)?shù)k元組猜想成立的基礎(chǔ)上，估計(jì)了短區(qū)間內(nèi)k個素?cái)?shù)的概率。

然后，陶哲軒使用幾年前與兩位數(shù)學(xué)家William Banks和Kevin Ford共同建立的隨機(jī)素?cái)?shù)模型，來建模素?cái)?shù)分布。

最后基于這個模型建立的分布證明猜想。

這篇博客發(fā)出后不久，就有網(wǎng)友趕來點(diǎn)贊，表示自己也在從用另一種方法嘗試解決這個猜想：

我3周前剛在Thomas Bloom的網(wǎng)頁上發(fā)現(xiàn)了這個猜想，不過只有這篇論文第一句話的內(nèi)容。我從計(jì)算（computational）的角度嘗試搞定它。我把它看作是觀察每個結(jié)果的偶數(shù)和奇數(shù)索引之間的差異，然后嘗試進(jìn)行曲線擬合，以確定差異可能為零的位置。雖然不知道我的數(shù)據(jù)是否對解決這個問題有幫助，不過至少這提高了我的編程技能。我還需要一些時間來消化你的論文，感謝！

One More Thing

值得一提的是，2004年陶哲軒和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）另一個更著名的等差數(shù)列猜想而來。

其中，埃爾德什等差數(shù)列猜想如下：

格林-陶定理進(jìn)一步將猜想范圍縮小到他們研究的素?cái)?shù)范圍內(nèi)，相當(dāng)于埃爾德什等差數(shù)列猜想的一個“特例”：

埃爾德什為解決這個等差數(shù)列猜想懸賞了5000美元。

這些年除了陶哲軒以外，也有不少數(shù)學(xué)家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他們在2020年，證明了整數(shù)無窮數(shù)列一定包含長度至少為三的等差數(shù)列，將這個問題又向前推進(jìn)了一步。

感興趣的小伙伴們可以挑戰(zhàn)一下了（手動狗頭）

新論文地址：https://arxiv.org/abs/2308.07205

參考鏈接：[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117